Bruchrechner
Überprüft von
B.Sc. Román Ramos
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Inhaltsverzeichnis
Wie man den Bruchrechner benutzt
Um unseren Bruchsimulator zu verwenden, gib einfach die Daten ein, die im Formular angefordert werden. Diese sind: die Brüche, mit denen du arbeiten möchtest, und die Art der Operation, die du durchführen möchtest: Addition, Division, Subtraktion oder Multiplikation.
Zuletzt kannst du das Kästchen „Das Ergebnis vereinfachen“ auswählen, damit der Online-Rechner das mit dem resultierenden Bruch tut.
Nachdem du all dies getan hast, klicke auf „Berechnen“, damit unser Tool dir das Ergebnis liefert, das du in Sekundenschnelle auf einfache und automatisierte Weise suchst.
Wenn du jedoch lernen möchtest, einige dieser Operationen von Hand durchzuführen, haben wir uns bemüht, dir Schritt für Schritt zu erklären, wie das geht, auf möglichst einfache Weise und immer anhand von Beispielen, damit du keinen Schritt verpasst.
Wenn du ein Experte für Brüche werden möchtest, lies weiter und wir erzählen dir alles, was du wissen musst.
Was ist ein Bruch
Gegeben sei ein Bruch:
$$\frac{a}{b}$$
Wobei a und b positive ganze Zahlen sind, ist es ein geometrisches Konzept, bei dem eine Einheit in b Teile geteilt wird, von denen a genommen werden. Der im oberen Teil des Bruchs befindliche Wert, a, wird als Zähler bezeichnet, während der im unteren Teil befindliche Wert, b, als Nenner bezeichnet wird.
Täglich verwenden wir Brüche unbewusst, sei es, wenn wir eine Stunde in Teile teilen:
$$\frac{1}{4}\ Stunde$$
Wenn wir auf dem Markt einkaufen:
$$\frac{1}{2}\ Kilogramm$$
Oder das häufigste Beispiel, wenn man einen Kuchen teilen und verteilen möchte, indem man ihn in Stücke schneidet, in diesem Fall repräsentiert jedes Stück einen Bruchteil des Kuchens. Wenn wir den Kuchen in 5 gleiche Teile geteilt haben, repräsentiert jeder:
$$\frac{1}{5}\ des\ Kuchens$$
Interpretation von Brüchen
Bruch als Teil eines Ganzen:
Das „Ganze“ als kontinuierliches Objekt (Kuchen, Quadrat usw.) oder als diskretes Set (Set von Tieren, Bleistiften usw.) wird in gleiche Teile geteilt, um einen Bruch zu erhalten, der diesen Teil darstellt. Zum Beispiel:
$$\frac{1}{4}\ des\ Kuchens$$
Bruch als Quotient:
Wenn man eine Anzahl von Objekten gleichmäßig teilen oder verteilen möchte. Zum Beispiel, wenn man 20 Bonbons unter 4 Personen verteilen möchte, würde jeder 5 Bonbons bekommen, das heißt:
$$\frac{20}{4}\ des\ Gesamten$$
Bruch als Verhältnis:
Häufig verwendet, um zwei Größen zu vergleichen, zum Beispiel:
Die Fläche des roten Dreiecks im Verhältnis zur Fläche des Rechtecks beträgt:
$$\frac{1}{2}$$
Bruch als Operator:
In dieser Interpretation wird der Bruch als mathematische Operation betrachtet. Zum Beispiel:
$$9\ ist\ \frac{3}{4}\ von\ 12$$
Wie man die Brüche einer Zahl berechnet
In diesem Artikel erklären wir Schritt für Schritt, wie man die Berechnung der Brüche einer bestimmten Zahl durchführt, indem wir Beispiele verwenden und die Arithmetik der Berechnungen erklären.
Didaktisch gesehen ist es sinnvoll, die Methode zur Berechnung von Brüchen immer aus einer praktischen Perspektive einzuführen, ausgehend von einem alltäglichen Problem, mit dem sich jeder identifizieren kann.
Nehmen wir ein Beispiel für diesen Typ: Juan hat 9 Äpfel und isst 1/3. Wie viele Äpfel hat er gegessen?
Wir multiplizieren einfach die Zahl 9 mit dem Zähler des Bruchs, und das ergibt einen neuen Bruch:
$$\frac{9}{3} = 3$$
Das sind die Äpfel, die Juan gegessen hat. Wenn das noch nicht ganz klar ist, lies weiter, denn wir werden alle möglichen Operationen mit Brüchen behandeln.
Wie man eine Zahl mit einem Bruch multipliziert
Wenn das Problem in schriftlicher Form vorliegt, ist der erste Schritt, den du ausführen musst, die Daten in Zahlen umzuwandeln. Wenn das Problem jedoch bereits in numerischer Form vorliegt, kannst du diesen Schritt überspringen.
Zum Beispiel, wenn die Aufgabenstellung sagt ein Drittel mal acht, handelt es sich um eine Multiplikation. In diesem Fall, wenn wir es numerisch umformulieren, erhalten wir:
$$\frac{1}{3} \times 8$$
An diesem Punkt, multipliziere die ganze Zahl mit dem Bruch. Wenn man mit ganzen Zahlen arbeitet, ist die einzige erforderliche Operation die Multiplikation der betreffenden Zahl mit dem Zähler des Bruchs, also der Zahl, die sich im oberen Teil befindet.
Der Nenner hingegen bleibt immer gleich, dies gilt für alle Berechnungen, die mit der Multiplikation zu tun haben.
In unserem Beispiel erhalten wir:
$$\frac{1}{3} \times 8 = \frac{8}{3}$$
Teile den Zähler durch den Nenner, das heißt, teile das im vorherigen Schritt erhaltene Produkt durch den Nenner des Bruchs.
An diesem Punkt könnte der erhaltene Bruch ein Bruch sein, bei dem der Zähler größer als der Nenner ist. Mit anderen Worten, du musst einen Bruch auf die kleinstmöglichen Begriffe vereinfachen.
In unserem Beispiel haben wir nach der Multiplikation den Bruch erhalten:
$$\frac{8}{3}$$
Das Ergebnis dieser Operation wird keine ganze Zahl sein, das heißt, es wird Dezimalstellen haben oder, anders ausgedrückt, es wird eine Division sein, die einen Rest erzeugt.
Also, 8 geteilt durch 3 wäre 2 mit Rest 2, also würden wir als Ergebnis 2 und den folgenden Bruch erhalten:
$$\frac{2}{3}$$
Aus praktischer Sicht, und zurück zu Juan und den Äpfeln, wenn unser Protagonist acht Äpfel hat und ein Drittel davon isst, wie viele Äpfel hat er gegessen?
In diesem Fall, 2 Äpfel und 2 Drittel des dritten, was ihm 5 Äpfel und ein Drittel des sechsten lässt.
Wie man einen Bruch vereinfacht
Ein Bruch, bei dem der Zähler größer als der Nenner ist, wird als unangemessen bezeichnet. Bevor du das endgültige Ergebnis eines Problems schreibst, ist es nützlich, sie zu vereinfachen. Dazu führt man eine Division zwischen Zähler und Nenner durch, wobei man den Rest, falls vorhanden, in Bruchform berücksichtigt:
Stell dir vor, du möchtest den Bruch vereinfachen:
$$\frac{11}{3}$$
Dazu teilst du 11 durch drei, dessen Ergebnis 3 mit Rest 2 ist, dieser Rest wird in Bruchform umformuliert, also wäre es so:
$$\frac{11}{3} = 3 + \frac{2}{3}$$
Das erhaltene Ergebnis wird eine gemischte Zahl sein, bestehend aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Um die gemischte Zahl korrekt zu schreiben, musst du das Ergebnis der Division (in ganzen Zahlen) schreiben und dann den Rest in Form eines Bruchs hinzufügen.
Andererseits kann man auch einen Bruch auf die kleinstmöglichen Begriffe reduzieren, nachdem man eine Multiplikation durchgeführt und einen Bruch erhalten hat. Anders ausgedrückt, du musst den größten gemeinsamen Teiler zwischen den verschiedenen Zählern und Nennern finden, um diese Zahlen auf Primzahlen zu reduzieren.
Zum Beispiel, stell dir vor, du möchtest den Bruch reduzieren:
$$\frac{3}{12}$$
In diesem Fall, um ihn auf die kleinstmöglichen Begriffe zu reduzieren, musst du den Zähler und den Nenner des Bruchs durch den kleinsten gemeinsamen Teiler, in diesem Fall 3, teilen, um das Ergebnis zu erhalten:
$$\frac{1}{4}$$
Wie man Brüche addiert und subtrahiert
Brüche mit demselben Nenner
Die natürliche Art, die Addition von Brüchen zu verstehen, ist einfach zu verstehen, was diese Operation aus der Perspektive dessen, was ein Bruch ist, darstellt. Zum Beispiel:
$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}$$
Du kannst wie im Beispiel mit den Kuchen denken, wenn du ihn in 5 Stücke teilst und davon 2 Stücke nimmst und dann 1 nimmst, hast du 3 Stücke von den 5 genommen. Du kannst also sagen, dass
$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$$
Diese Idee kannst du verallgemeinern und so sagen, dass:
$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$$
Und das gilt, wenn die Brüche denselben Nenner haben.
Brüche mit unterschiedlichem Nenner
Der Fall, in dem die Brüche unterschiedliche Nenner haben, kann gelöst werden, indem die Brüche so umgewandelt werden, dass sie denselben Nenner haben und so der vorherige Fall angewendet werden kann. Zum Beispiel:
$$\frac{4}{5}+\frac{1}{3}=\frac{(4)(3)}{(5)(3)}+ \frac{(1)(5)}{(5)(3)}$$
Indem man die erste Fraktion mit 3 multipliziert und dividiert und die zweite Fraktion auf dieselbe Weise mit 5 multipliziert und dividiert, erreicht man, dass beide denselben Nenner haben, so dass die Operation wie folgt aussieht
$$\frac{4}{5}+\frac{1}{3}=\frac{12}{15}+\frac{5}{15}=\frac{17}{15}$$
Das vorherige Verfahren kann wie folgt verallgemeinert werden:
$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$
Im Falle der Subtraktion kann man analog zur Addition vorgehen, das heißt:
$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$
Wie man Brüche multipliziert
Die Multiplikation von Brüchen ist eine der Operationen mit Brüchen, die am einfachsten zu merken ist, da sie linear erfolgt, das heißt, man multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner
$$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
Zum Beispiel:
$$\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}=\frac{(3)(4)}{(2)(5)}= \frac{12}{10}=\frac{6}{5}$$
Wie man Brüche teilt
Um die Division von Brüchen durchzuführen, können wir auf verschiedene Weise vorgehen. Die erste besteht darin, die Regel der doppelten C anzuwenden, das heißt,
$$\frac{a}{b}: \frac{a}{b}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}$$
Eine andere äquivalente Methode besteht darin, die Werte des Bruchs auf der rechten Seite zu invertieren oder auszutauschen und dann die Multiplikationsoperation durchzuführen
$$\frac{a}{b} : \frac{a}{b}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$$
Zum Beispiel:
$$\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times \frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$$
Und das ist alles, was du über Brüche und ihre Operationen wissen musst. In diesem Artikel hast du gelernt, neben der Verwendung des Bruchrechners, wie man verschiedene Operationen durchführt.
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