Ergebnis
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Rechner für Potenzen
Überprüft von
B.Sc. Román Ramos
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Inhaltsverzeichnis
Wie man den Exponentenrechner benutzt
Um dieses Online-Tool zu nutzen, musst du einfach nur die Basis der Potenz und ihren Exponenten angeben, sei es eine positive ganze Zahl, eine Bruchzahl oder sogar eine negative Zahl.
Nachdem du alle angeforderten Felder eingegeben hast, klicke auf „Berechnen“, und der Rechner wird dir das Ergebnis der Potenzierung innerhalb von Sekunden liefern.
Was sind Potenzen und wofür werden sie verwendet
Potenzen sind einfach wiederholte Multiplikationen und bestehen aus zwei Elementen: dem Exponenten (n) und der Basis (a). Die zweite ist die Zahl, die zur ersten potenziert wird.
$$a^n$$
Wenn du mit ganzen Zahlen arbeitest und zur Vereinfachung, stelle dir vor, dass du eine Zahl mehrmals mit sich selbst multiplizieren musst, zum Beispiel, die Zahl 3, 4 Mal zu multiplizieren, wäre es zu mühsam, die Operation so zu schreiben:
$$3 \times 3 \times 3 \times 3$$
Um diesen mathematischen Prozess zu beschleunigen, könnte man die Potenz verwenden, die nichts anderes ist als eine Neugestaltung der vorherigen Operation, umgeformt in einer einfacheren, schnelleren und bequemeren Weise:
$$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$$
Wenn du 33 im mündlichen Ausdruck darstellen möchtest, ist es am besten, „drei hoch drei“ oder „drei zur dritten Potenz“ oder die am häufigsten verwendete Form „drei hoch drei“. Wenn es dagegen um 2 erhöht wäre, sollte man sagen „drei quadrat“.
Zusammenfassend: wenn wir mit ganzen Zahlen operieren, kennen wir als Potenz einer Zahl die Multiplikation dieser Zahl n Mal. Diese Operation wird mit an angezeigt, wobei a die Basis und b der Exponent ist.
Wie man einfache Potenzen berechnet
Wenn du dich einer Operation mit Potenzen gegenübersiehst, zum Beispiel: 53, solltest du zuerst die zwei Teile identifizieren, aus denen sie besteht.
Die „untere“ Zahl, in unserem Beispiel 5, ist die Basis, während die „obere“ Zahl der Exponent ist.
Exponent = 0
Wenn der Exponent 0 ist und die Basis eine ganze Zahl, wird das Ergebnis immer 1 sein. Zum Beispiel:
$$5^0 = 1, \quad 18522^0 = 1$$
Exponent = 1
Potenzen, deren Exponent 1 ist, bleiben genau gleich wie die Basis.
Andere Exponenten
Um eine Potenz zu berechnen, multipliziere einfach die Basis mit sich selbst so oft, wie der Exponent angibt, weiter mit unserem Beispiel 53:
$$5 \times 5 \times 5 = 125$$
Wenn du die Operation von Hand oder sogar im Kopf durchführen möchtest, empfehlen wir, die Zahlen paarweise zu multiplizieren, das heißt:
$$5 \times 5 = 25; \quad 25 \times 5 = 125$$
Wie man Operationen mit Potenzen durchführt
Wenn du Potenzen addieren oder subtrahieren möchtest, benötigst du als grundlegende Voraussetzung, dass beide dieselbe Basis haben. Diese Operation ist eine Vereinfachung.
Addieren
Wir könnten behaupten, dass:
$$6^3 + 6^3$$
Gleich ist wie:
$$ (1)(6^3) + (1)(6^3)$$
Also wäre das Ergebnis der Addition dieser beiden Potenzen gleich:
$$2(6^3)$$
Wenn wir die Ergebnisse der Potenzen einzeln addieren, wäre es dasselbe, aber zweimal, daher vereinfachen wir den Prozess, indem wir es mit zwei multiplizieren.
Es mag vielleicht ein wenig umständlich und schwer verdaulich erscheinen, aber mit einem Beispiel wird es sicherlich viel klarer werden:
$$6^3 + 6^3 = (6)(6)(6) + (6)(6)(6) = 2 (6)(6)(6) = 2 6^3$$
Subtrahieren
Das Verfahren für die Subtraktion wäre praktisch dasselbe wie bei der Addition, nur dass die Zahlen, die den Potenzen vorangehen, statt addiert, subtrahiert werden.
Multiplizieren
Um Potenzen zu multiplizieren, ist es unerlässlich, dass sie alle zumindest die Basis gemeinsam haben, dann geht es einfach darum, die Exponenten aller von ihnen zu addieren.
In Wirklichkeit ist es eine weitere Vereinfachung, gehen wir ein Beispiel durch:
$$(5^2)(5^4)(5^3)$$
Was dasselbe ist wie:
$$[5\times5] [5\times5\times5\times5][5\times5\times5] = 5^9$$
Wenn du verschiedene Exponenten in Klammern multiplizieren möchtest, wie es sein könnte
$$ (4^2)^3$$
multipliziere einfach beide Exponenten miteinander und du erhältst den endgültigen Exponenten, zum Beispiel:
$$(4^2)^3 = (4^2)(4^2)(4^2) = 4^6 $$
Da die Basis immer dieselbe ist, kannst du die verschiedenen Exponenten addieren, um das Ergebnis zu berechnen.
Wenn du auf eine Potenz mit einem negativen Exponenten stößt, musst du den Exponenten in eine positive Zahl umwandeln, und dafür musst du sie in Form eines Bruchs umformulieren.
Orientiere dich an den folgenden Beispielen:
$$4^{(-2)} = \frac{1}{4^2}$$
$$3(4^{(-2)}) =\frac{3}{4^2}$$
Teilen
Um zwei Potenzen mit derselben Basis zu teilen subtrahiere die Exponenten voneinander. Da die Division die genau entgegengesetzte Operation zur Multiplikation ist, wird sie durch das genaue Gegenteil des Verfahrens gelöst.
Was tun bei einem Exponenten, der Brüche enthält
Wenn wir auf eine Potenz stoßen, deren Exponent in Bruchform geschrieben ist, wie zum Beispiel 41/2, müssen wir nur wissen, dass es so ist, als wäre es die Quadratwurzel dieser Zahl, immer vorausgesetzt, sie ist auf 1 erhöht, das heißt:
$$4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$$
Diese Prämisse kann auf alle Bruchexponenten, die du findest, extrapoliert werden.
Wenn du zum Beispiel die Zahl 8 auf 1/3 erhöht findest, bedeutet das, dass du zur Lösung die Kubikwurzel von 8 berechnen musst, in diesem Fall wäre das Ergebnis 2.
Dies liegt hauptsächlich daran, dass die Potenzierung das entgegengesetzte Verfahren zur Wurzel ist.
Eine letzte Erinnerung
Wenn du mit Potenzen arbeitest, solltest du beachten, dass das Erhöhen des Exponenten einer von ihnen das Endergebnis der Operation enorm steigern wird.
Deshalb, auch wenn das Endergebnis eine unverhältnismäßige Zahl zu sein scheint, lehne sie deshalb nicht ab, denn sie könnte korrekt sein.
Andererseits vergiss nicht, dass eine Potenz, die auf 1 erhöht wird, bedeutet, dass die ganze Zahl so bleibt, wie sie ist, und wenn sie stattdessen auf 0 erhöht wird, wird sie immer 1 sein.
Potenzen im Taschenrechner erheben
Zum Schluss solltest du dich daran erinnern, dass die meisten Taschenrechner mindestens eine Taste haben, um Potenzen zu lösen.
Diese Funktion kann auf zwei Arten gefunden werden, entweder mit dem Befehl exp oder mit der Taste xn.
Wenn dein physischer Taschenrechner sehr alt ist und nicht über diese Funktion verfügt, kannst du immer einen unserer Taschenrechner verwenden, die ebenfalls kostenlos sind.
Und das ist alles, was du wissen musst, um Operationen mit Potenzen durchzuführen, wir haben die Erklärung auf die einfachste Weise gemacht, immer Schritt für Schritt und mit Beispielen geführt, damit niemand auf dem Weg verloren geht.
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